Weißt du zufällig, um welche Sehne es sich handelt? Es gibt nicht DIE Schultersehne, die Schulter wird ja nicht nur von einem Muskel bewegt.
Deinen Schilderungen zufolge tippe ich jetzt aber mal auf die Sehne des langen Bizepskopfes. Diese nutzt den Gelenkkopf als Widerlager, schrubbt demnach also immer an ihm herum und wird daher leicht mal gereizt. Ist bei BBlern und sonstigen hart arbeitenden Leuten weit verbreitet. Wenn du nicht aufpasst, fazt die Sehne ab, rollt sich wie ne Schneckennudel zusammen und endet samt Muskelbauch als ein von außen gut sichtbarer Bollen am unteren Teil des Oberarms.

Wenn du jetzt also volle Lotte weitertrainierst, könnte das ziemlich kontraproduktiv enden, in Form einer Bizepssehnenruptur (<--danach lässt gut googeln, für weitere Infos). Dann gehts ab unters Messer, um die Sehne wieder anzuheften, danach OP-bedingt erstmal Ruhigstellung und 6 Wochen Mäßigung, sonst reißt das Ding gleich wieder weg. Die Schulterstabilität nach soner OP ist nachhaltend vermindert, da die Sehne nicht an ihren eigentlichen Ursprungspunkt angenäht werden kann (siehe am Bild: also nicht da oben, wo man noch ein Stück der Ursprungssehne zu sehen ist, sie wird am Oberarm in diesem Kanal wieder angenäht, sonst hälts nicht) Die Pausenempfehlung des Arztes ist also nicht ganz unbegründet. Wenn dies jedoch für dich nicht in Frage kommt (würd ich au net aushalten), stelle deinen Plan am besten ein wenig bzw radikal um.
Ein paar Empfehlungen diesbezüglich: Die Sehne wird dann beansprucht, wenn die Schulter nach unten Stabilisiert werden muss, das hast du ja schon gemerkt, deshalb hast du beim Latziehen und Klimmzügen kaum Schmerzen, beim Rudern schon eher. Die Bizepssehne hat unter anderem die Funktion, den Gelenkkopf nach unten zu drücken und so die Schulter zu stabilisieren (du siehst an dem Bild ja, dass die Schulter von der Gelenkpfanne praktisch so gut wie gar keine Stabilisierung erhält). Diese Funktion kannst du derzeit leider nicht (im vollen Umfang) nutzen, sonst treten eben diese Schmerzen auf und schlussendlich wird alles nur noch Schlimmer. Lass also alle Übungen, in denen die Schulter fest nach unten hin am Körper stabilisiert werden muss (ich weiß, das sind viele) erstmal weg bzw sei sehr sparsam damit. Alles was schmerzt sowieso sofort einstellen. Und dann bleibt nur noch warten... Das dauert wie du ja schon festgestellt hast auch so seine Zeit. Kann gut sein, dass du das jetzt ein Jahr mit dir rumschleifst, so lange braucht Gewebe nunmal, um vollständig auszuheilen, vor allem wenn es permanent Belastungen ausgesetzt ist. Wenn die Heilung gestört wird, verzögert sie sich dementsprechend. Schnell in den Griff zu kriegen ist sowas leider nicht. Mit Schulter ist nicht zu Scherzen, kann bei Fehlverhalten ganz dumm enden.
Schonen, einsalben, warten, so würd ich vorgehn. Als therapeutisches Mittel könnte man noch die Querfriktion nach Cyriax anwenden. Ist gar nicht so schwierig, da brauchst also nichtmal unbedingt ein Rezept beim Doc erbetteln. Lass dir das von einem Physiotherapeuten zeigen und wende es dann nach seinen Angaben hin an. Bitte in vielleicht auch darum, mal generell einen Blick auf deine Schulter zu werfen, da er mit dem Bewegungsapparat nun mal meist bewandeter ist als ein Allgemeinarzt. Eine Bizepssehnenläsion, wie ich sei bei dir vermute, tritt oft zusammen mit einer Supraspinatussehnenläsion auf.