Der Studiobetreiber kann das Mitbringen von eigenen Getränken nicht generell verbieten.
Er kann aber vorschrieben (ist ja schließlich sein Laden), wo die mitgebrachten Getränke konsumiert werden dürfen.
Und wenn der Inhaber sagt, nur in der Umkleide, dann ist das so rechtlich korrekt.

Logisch! - Wo kämen wir da hin, wenn 30 oder 40 Leute zum Trainieren ihren Wassermax oder ihre 1,5 l Flaschen im Studio-Gerätepark gleichmäßig verteilen? - Ihr habt echt Vorstellungen....

Aber man kennt ja seine Pappenheimer. Die Leute, die sich drüber beschweren sind in der Regel genau diese Typen:
150 Euro Handyrechnung im Monat, 3er BMW (natürlich auf 60 Monate finanziert),
50 Euro pro Woche in der Disco und auf der Sonnenbank lassen und dann wegen 1,50 Euro für ein Getränk im Studio rumknäckern...

Ich versteh, wenn ein Schüler, Azubi, Student nicht jedesmal ein Getränk kaufen kann. Dann muss aber auch so viel Verständnis da sein, dass ein eigenes Getränk nicht im Gastrobereich oder auf der Fläche konsumiert werden kann. Der Weg in die Umkleide ist in dem Fall wohl zumutbar und ein fairer Kompromiss.